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\newcommand{\stirling}{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}}

\begin{document}

\begin{center}
  \textbf{\Large Kombinatorik in der Geometrie}\\[3mm]
  Friedrich Hirzebruch\\[3mm]
  {\small In: Jahrbuch der Heidelberger Akademie der Wissenschaften für 1991, 
  Heidelberg, 1992, 96--98.}\\[10mm]
\end{center}

\setcounter{page}{96}

Die wichtigsten Eigenschaften der Euler-Poincaréschen Charakteristik
eines topologischen Raumes werden erläutert. Als Beispiel des
Lefschetzschen Fixpunktsatzes wird folgender Satz angegeben: Wenn die
Kreislinie auf einer kompakten differenzierbaren Mannigfaltigkeit
differenzierbar operiert, und zwar mit isolierten Fixpunkten, dann ist
die Charakreristik der Mannigfaltigkeit gleich der Anzahl der
Fixpunkte. Die Fahnenmannigfaltigkeit $F(n)$ des $n$-dimensionalen
komplexen Vektorraumes besteht aus allen Fahnen, das sind $n$-tupel
1-dimensionaler komplexer Unterräume, die paarweise aufeinander
senkrecht stehen. Die Drehung, die in den 1-dimensionalen Unterräumen
einer festen Fahne um die Winkel $\alpha, 2\alpha,
3\alpha,\cdots,n\alpha$ dreht, läßt diese Fahne und alle Fahnen, die
durch Vertauschung der 1-dimensionalen Unterräume entstehen,
fest. Keine anderen Fahnen werden festgehalten. Deshalb ist die
Charakteristik von $F(n)$ gleich $n! = 1\cdot 2\cdots n$ der Ordnung der
symmetrischen Gruppe $S_n$ von $n$ Objekten. Hiermit ist das Studium der
Gruppe $S_n$ aller Permutationen von $\{1,2,\cdots,n\}$ in Kombinatorik und
Geometrie motiviert, das nun in verschiedenen Richtungen weiter
verfolgt wird. So läßt sich die $(2r)$-te Bettische Zahl von $F(n)$ angeben
als die Anzahl der Permutationen $\sigma$, für die es genau $r$ Paare $(i,j)$ 
mit $1\le i<j\le n$ und $\sigma(j)>\sigma(i)$ gibt. Die Bettischen Zahlen in den
ungeraden Dimensionen verschwinden. Die Fixpunkte induzieren
eine Zellenzerlegung von $F(n)$ in geradedimensionale Zellen.

Hauptanliegen des Vortrags ist, die Eulerschen Polynome
\begin{equation*}
  P_n(z) = \sum_{k=0}^{n-1} W_{n,k}\ z^k
\end{equation*}
in Erinnerung zu rufen. Hier ist $W_{n,k}$ die Anzahl der
Permutationen $\sigma$ von $\{1,2,\cdots,n\}$ mit $k$ Abstiegen,
d.h. die Ungleichung $\sigma(i)>\sigma(i+1)$ gilt für genau $k$ Werte
von $i$ (wobei $1\le i\le n$). Es gilt auch folgendes: $W_{n,k}$ gibt
an, auf wieviel verschiedene Weisen man $n$ Türme auf ein $n\times n$ Schachbrett
stellen kann, so daß keiner einen anderen schlägt und sich genau $k$ 
unterhalb der Hauptdiagonale befinden. Es ist 
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    P_1(z) &= 1\,,\quad P_2(z) = 1 + z\,, \quad P_3(z) = 1+4z+z^2\\
    P_4(z) & = 1 + 11 z + 11 z^2 + z^3\,, \quad P_5(z) = 1+26 z + 66 z^2 + 26 z^3 + z^4\,.
  \end{aligned}
\end{equation*}

Die Eulerschen Polynome werden auch durch folgende Identität charakterisiert 
\begin{equation*}
  \frac{zP_n(z)}{(1-z)^{n+1}} = \sum_{k=1}^{\infty} k^n\ z^k
\end{equation*}

Sie sind mir u.a. in folgenden Zusammenhängen begegnet.

\newpage

Es gibt interessante algebraische Varietäten der komplexen Dimension $n-1$, 
deren holomorphe Euler-Charakteristiken bis auf das Vorzeichen
gleich den $W_{n,k}$ sind: Es sei $A$ eine prinzipal polarisierte
$n$-dimensionale abelsche Varietät. Ein zur Polarisierung gehöriger
Thetadivisor $D$ in $A$ hat die komplexe Dimension $n-1$, ist der einzige
Divisor in seiner linearen Äquivalenzklasse und kann in $A$ durch die
Aktion von $A$ auf sich bewegt werden. Im allgemeinen ist $D$ glatt, und
man kann für $0\le k\le n-1$ die holomorphe Euler-Charakteristik von $D$
mit Koeffizienten in der Garbe der Keime holomorpher $k$-Formen
bilden. Sie werde mit $\chi^k(D)$ bezeichnet. Eine Rechnung im Sinne meines
Riemann-Roch-Satzes, die man in dieser Weise immer durchführen
kann, wenn das Tangentialbündel der Varietät plus ein Geradenbündel
trivial ist, ergibt
\begin{equation*}
  (-1)^{n-1-k}\ \chi^{k}(D) = W_{n,k}\,.
\end{equation*}

Das arithmetische Geschlecht $\chi^{0}(D)$ ist also gleich
$(-1)^{n-1}$. Man kann mittels Verschiebungen durch Operationcn von
$A$ auf sich $r$ Theta-Divisoren finden, die in allgemeiner Lage
zueinander sind. Ihr Durchschnitt werde mit $D^{(r)}$ bezeichnet. Es ist
eine glatte Varietät der Dimension $n - r$. Das arithmetische
Geschlecht von $D^{(r)}$  multipliziert mit $(-1)^{n-r}$ ist gleich $r!$ mal der
Stirlingschen Zahl $\stirling{n}{r}$, d.h. der Anzahl der Zerlegungen einer $n$-zahligen 
Menge in $r$ disjunkte nicht-leere Teilmengen. 

Die Berechnung von holomorphen Euler-Charakteristiken hängt in vielen
Fällen mit dem Abzählen von Gitterpunkten zusammen. Das führte vor
langer Zeit zur Berechnung des Volumenes von Würfelschnitten
(W. Meyer-R. von Randow). Erst vor wenigen Tagen habe ich nach
Diskussion und Korrespondenz mit Zbigniew Ciesielski folgendes
bemerkt. 

Es sei $B_n(x)$ das Volumen der folgenden Menge im $n$-dimensionalen reellen Raum (Würfelschnitt):
\begin{equation*}
  \left\{t\mid t\in \mathbb{R}^n, 0\le t_i\le 1, x\le \sum_{i=1}^{n} t_i \le x+1 \right\}\,.
\end{equation*}

Dann ist $B_n(x)$ eine $(n-1)$-mal stetig differenzierbare Funktion der reellen Veränderlichen $x$. 
In jedem Intervall $[j,j+1]$, wo $j$ eine ganze Zahl ist, wird sie durch ein Polynom vom Grade $n$ gegeben. 
Sie verschwindet außerhalb des Intervalls $[-1, n]$. Es ist
\begin{equation*}
  \int_{-\infty}^{\infty} B_n(x)\,dx = 1\,.
\end{equation*}

Durch die erwähnten Eigenschaften ist der Spline $B_n(x)$ eindeutig bestimmt. 
Es gilt $B_n(k) = W_{n,k}/n!$, für $k\ge 0$. 

Der Wert des Eulerschen Polynoms $P_n(z)$ an der Stelle $z = -1$ ist von besonderem lnteresse. 
Er ist gleich der Signatur der differenzierbaren $(2n - 2)$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $D$. 
In der Tat ist $P_n(-1) = 0$, wenn $n$ gerade, und für $n = 2h + 1$ ist
\begin{equation*}
  P_{2h+1}(-1) = (-1)^{h}\,tg^{(2h+1)}(0)\,,
\end{equation*}
\newpage\noindent
was dem Zusammenhang des Signatursatzes mit der Tangensfunktion entspricht. Es ist
\begin{equation*}
  tg(x) + \frac{1}{\cos(x)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t_n}{n!}\ x^n\,,
\end{equation*}
wo die $t_n$ ganze Zahlen sind mit $t_{2h+1} = tg^{(2h+1)}(0)$. Die
ganze Zahl $t_n$ ist gleich der Anzahl der Zick-Zack-Permutationen von
$n$ Objekten.  (Eine Permutation $a_1,a_2,\cdots, a_n$ von
$1,2,\cdots,n$ heißt Zick-Zack-Permutation wenn $a_1>a_2, a_2<a_3,
a_3>a_4, \dots$).

Diese Übereinstimmung ist mindestens seit 1880 bekannt (D. André). Aber wie erklärt sich, daß 
die Anzahl der Zick-Zack-Permutationen von $2h + 1$ Objekten (bis auf das Vorzeichen) die Signatur 
der Varietät $D$ (Theta-Divisor) der komplexen Dimension $2h$ ist? 
Eine Liste der Anzahlen $t_n$ der Zick-Zack-Permutationen folgt:
\begin{center}
  \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
    $n$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
    \hline
    $t_n$ & 1 & 1 & 2 & 5 & 16 & 61 & 272 & 1385 & 7936 & 50521
  \end{tabular}
\end{center}

Zu Beginn des Vortrags wurde auch noch auf die Bedeutung der
$t_{2h+1}$ für Triangulationen gerade-dimensionalen Mannigfaltigkeiten
hingewiesen. Die Euler-Poincarésche Charakterisrik $e$ einer
$2m$-dimensionalen triangulierten Mannigfaltigkeit läßt sich nach
klassischen Ergebnissen (Dehn-Sommerville, V. Klee, E. Peschl) durch
die Anzahlen $a_{2h}$ der geradedimensionalen Simplizes ausdrücken:
\begin{equation*}
  e = 2\sum_{h=0}^{m} (-1)^{h} \frac{t_{2h+1}}{2^{2h+1}}\ a_{2h}\,.
\end{equation*}
Die $(2m)$-Sphäre hat eine Triangulation mit $a_{2h} =
\binom{2m+2}{2h+1}$, wodurch sich eine bekannte Formel zur induktiven
Berechnung der $t_{2h+1}$ ergibt (Schläfli).

\end{document}
