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\begin{document}

\begin{center}
  \textbf{\Large Singularities and exotic spheres}\\[3mm]
  \textsc{Friedrich Hirzebruch}\\[3mm]
  {\small In: Tagungsbericht 27/1996, Mathematisches
    Forschungsinstitut Oberwolfach, Vortrag anläßlich des
    60. Geburtstags von Egbert Brieskorn,
    Kurzfassung. Engl. transl. in: Journal of Singularities 18 (2018),
    p.~35.
  }\\[10mm]
\end{center}

Bericht über das akademische Jahr 1965/66. Brieskorn ist C.L.E. Moore
Instructor am M.I.T., Jänich ist an der Cornell University, dann am
IAS in Princeton. Ich bin in Bonn. Es gibt ausgedehnte
Korrespondenz. Vom 30.9.--7.10.1965 bin ich bei einer Konferenz in Rom
(Bericht über Brieskorn's simultane Auflösungen). Dort erreicht mich
Brieskorn's Brief vom 28.9.1965: \emph{``Ich habe in den letzten Tagen
  die etwas verwirrende Entdeckung gemacht, daß es vielleicht
  3-dimensionale normale Singularitäten gibt, die topologisch trivial
  sind.  Ich habe das Beispiel heute nachmittag mit Mumford
  diskutiert, und er hatte bis heute abend noch keinen Fehler
  gefunden; hier ist es:
  \(X=\{x\in {\mathbb
    {C}}^{4} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{3}=0\}\).''}
Beweis durch Auflösung und Berechnung aller Invarianten des
Umgebungsrandes. In den Proc. Nat. Acad. Sci. USA erscheint
allgemeiner das Beispiel $x_1^2+\ldots +x_k^2 + x_{k+1}^3 = 0$ ($k$
ungerade).

Bericht über die umfangreiche Korrespondenz, die sich anschließt, über
Brieskorn's Entdeckung der Arbeit von Pham, die es ihm ermöglicht,
Milnor's assertion in einem Brief an Nash zu beweisen -- Milnor an
Nash am 13.4.1966: \emph{``The Brieskorn example is fascinating. After
  staring at it a while I think I know which manifolds of this type
  are spheres but the statement is complicated and a proof does not
  exist. Let \(\varSigma(p_{1}, \ldots, p_{n})\) be the locus
  \(z_{1}^{p_{1}}+\cdots+ z_{n}^{p_{m}}=0\),
  \(|z_{1}|^{2}+\cdots+|z_{n}|^{2}=1\), where $p_j\ge 2$ \dots.''}
Dann gibt Milnor die Bedingung a) oder b) für die Exponenten an. --
Allmählich wird es allen Beteiligten klar, daß zur Bestimmung der
differenzierbaren Struktur die Berechnung der Signatur von
$z_{1}^{p_{1}}+\cdots+ z_{n}^{p_{m}}=1$ ($n\ge 3$, $n$ ungerade)
erforderlich ist.  Darüber gibt es manche Briefe von Brieskorn an mich
und umgekehrt. Brieskorn schreibt seine Arbeit für die Inventiones
Bd. 2 (1966). In diesem Zusammenhang hat er auch $\varSigma(2,3,5,30)$, 30 =
Coxeterzahl von $E_8$, studiert und schließlich die kleinen Auflösungen
dieser Singularität in Kurven gemäß $E_8$-Baum und damit die simultane
Auflösung der Flächenfamilien $x_1^2+x_2^3 + x_3^5 + t^{30}=0$ (Parameter $t$)
bewerkstelligt und den übriggebliebenen Fall seiner Math. Ann. Arbeit
von 1966 (über die ich in Rom berichtete) erledigt. Verständnis im
Rahmen der Wurzelsysteme und der Weylschen Gruppe wurde erzielt
(Brieskorn's Brief an Frau Tjurina vom 13.9.1966) -- Jänich hatte
$O(n)$-Mannigfaltigkeiten $W^{2n-1}(d)$ studiert (zwei Orbittypen mit
Isotropiegruppen $O(n-2)$, $O(n-1)$ und Orbitraum $D^2$, $S^1$) und diese
klassifiziert, sowie Knotenmannigfaltigkeiten $M^{2n+1}(k)$, auf denen $O(n)$
operiert (drei Orbittypen $O(n-2)$, $O(n-1)$, $O(n)$ mit Orbitraum $D^4$, $S^3-k$, $k$
($k$ der Knoten)).  Ich bringe die beiden in USA befindlichen
zusammen durch Bericht vom März 1966, z.B.
$W^{2n-1}(d)$ ist $\varSigma(2,\dots,2,d)$ und $M^{2n+1}$(Torusknoten 3,5) ist
$\varSigma(2,\dots,2,3,5)$. Brieskorn schreibt am 29.3.1966: \emph{``Klaus Jänich und
  ich hatten von diesem Zusammenhang unserer Arbeiten nichts gemerkt,
  und ich war vor Freude ganz außer mir, wie Sie nun die Dinge
  zusammengebracht haben,''}

Ich hatte hier in Oberwolfach die gleiche Freude, darüber erzählen zu können.

\end{document}
